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デルタ関数とその性質

デルタ関数とその性質
図1のグラフ (再掲)図1:デルタ関数の図示 から何となく想像できますが、デルタ関数は偶関数のような性質を持っています。
ただし、上で述べた通り、この等式は積分の中に入って初めて意味を持つので注意してください。 この性質より、\(f(x)\)が奇関数の時、 \begin \int_<-\infty>^ <\infty>f(x) \delta(x)dx=0 \end になります。典型的なのは、\(f(x)=x\)の場合などです。

デルタ関数

デルタ関数とは , 空間の一点にだけ存在する粒子を数式中に表現したいためにディラックによって発明された関数である . 理論上の話だが , ある一点において密度は無限大 , しかしその密度を積分して全体量を求めると有限量であるという性質が欲しかったのである . イメージとしては次のような関数である . のところでだけ無限大となり , それ以外のところでは 0 である . しかし無限大というのは数値ではなくて , 限りなく大きくなる極限を考えるときのイメージに過ぎないので , これを定義として使うのは数学的にふさわしくない . しかも「0 を含む区間で積分すると有限の値になる」という性質もまだ言い表せていない .

実は次のように定義しておけば万事解決することが分かる . ここで出てくる は任意の実連続関数であるとする . どんな形の関数 を使っても , デルタ関数と掛け合わせて積分すると , での の値だけが拾われて出てくるとするのである .

なぜこれでうまく行くのかを説明しよう . 上の定義のところに , 常に 1 であるような関数 を当てはめてみる . すると次のように , デルタ関数を積分すると有限値である 1 になることが導かれる . さらに , どんな関数を使っても における値 しか拾ってこないことから , 以外の区間での の値はデルタ関数によって無効化されていることになる . つまり , 以外の区間では となっているのだと言えるだろう .

というわけで , (1) 式や (2) 式では無限積分を使っているが , 積分区間に を含んでいさえすれば同じ形の式が成り立っているとして良い . デルタ関数は関数に似てはいるが , 実は関数ではない . これを関数だと認めると , 数学での分類の上ですっきりしない部分が出てくるらしいのである . それで数学では関数 (デルタ関数とその性質 function) ではなく超関数 (distribution) というものに分類されている . しかし物理学徒はそのようなことには無頓着なのだ .

原点以外のところへずらす

デルタ関数 では原点 が特別な点になっている . しかし という形を使うと になるところでデルタ関数の能力が発揮されることになるので , が特別な点になる . この形は粒子が に存在していることを表すのに使われる .

これに関連して , 次のような性質が言えるだろう . このようにすると での関数 の値 が取り出されてくるというわけである .

この性質はちゃんと数式を使って論理的に導き出すことができる . と置き換えた上で (1) 式を当てはめればいい .

偶関数に似た性質

(1) 式の形で定義されたデルタ関数は偶関数に似た次のような性質を持つ . あたかも原点を挟んで左右対称であるようなイメージである .

これを導くには次のようにすれば良い . まず (1) 式の の代わりに を使ってやると , 次のことが言える . 積分範囲が全範囲の積分では被積分関数の積分変数の符号を変えても結果は変わらないので , この左辺の被積分関数の を に置き換えた次の式が成り立つ . この式と (デルタ関数とその性質 1) 式とで引き算してやれば次の式が成り立つ . これが任意の関数 について成り立つことから , カッコ内も 0 だと言えて , 先ほど書いた性質が導かれるのである .

実は左右対称ではない形の関数の極限としてのデルタ関数を考えることもできるのだが , その場合でも (1) 式と同じ性質を持つので結局は同じ結論にたどり着くことになる . 先ほどから「デルタ関数は偶関数である」とは言わずに「偶関数に似た性質を持つ」と言っているのはそういう事情があるからである . デルタ関数の本質は積分したときの性質にこそあり , 本当に左右対称であるのかどうかといったイメージの差は積分したときに消えてしまうのである .

普通は (1) 式を使って定義するものであるし , デルタ関数とその性質 左右対称のイメージを持っていた方が物理的にも自然なことが多いだろう . それで次のような関係が仮定されることがある . ところで偶関数 には次のような性質が成り立っている . これと同様に という関係が成り立っているのだが , これは別に偶関数の性質を持ち出さなくても (1) 式で とすればすぐに分かることだろう . これを積分記号を省略して次のように書くことがある . デルタ関数は積分してこそ意味があり , いずれ積分されなければならない運命にあるのだから , この形になっていれば積分しようがしまいが 0 であるのと同じだという意味である . これの応用として , 次のように書いたものも成り立っている .

変数のスケールを変える

関数 だったものを にすると , の場合にはグラフは横に押し潰された形になる . デルタ関数の場合には元々一点のみで無限大のグラフなのだから押し潰されてもグラフの形に変わりない感じはするのだが , 次のような関係が成り立っている . これは変だ . 横から押し潰された結果としてなぜか高さが縮むことを表しているように思える . 普通の などのグラフと比べてしまうと逆のことが起きているイメージなのだが , こう考えないと辻褄が合わないので受け入れるしかない .

これを導くには (2) 式の を に変数変換してやればいい . 下から 2 番目の式は積分変数が になっているが , これを代わりに でも でも好きな記号を使って書き換えても結果は同じなわけで , 結局 で書き換えてみたのが最後の式である . それで最初の積分と最後の積分を比較すれば次の式が成り立っていると言えるだろう . しかしこの式は でも正しいだろうか ? デルタ関数は変数の正負にかかわらず負になることはないのだから , 右辺は負になり , 左辺は正になる . どこかがおかしい . 実は先ほどの変数変換は の場合には次のように計算しなくてはならないのである . つまり , の場合には である . これらを同時に表したければ次のように表しておけば良いだろう . の場合にはこれらの議論は意味を成さないので , (4) 式のように を分母に持ってきて , 「ただし 」とでも書いておけば , に 0 を入れたりする間違いをかなり防げるだろう .

デルタ関数の中に関数をつっこむ

の形にも依るが , となるような点 は複数あるかも知れず , その全ての点で は無限大になるのだろうと予想が付く . すると , 次のような形で表せば良いだろうか ? しかしこれは少しだけ違うのである . 実際は次のようになる . なぜこうなるのか , (4) デルタ関数とその性質 式を知っていれば大体察しが付くだろう . (4) 式における定数 はどんな速度で原点をすり抜けるかを表していると言える . 今回の (5) 式においては , その点における の微分が同じ意味を持っているのである .

ところで , デルタ関数の中につっこむことの出来る には制限がある . は 0 になってはいけないので , 軸にギリギリ接するような曲線を持つ関数は (5) 式には当てはめられない . 軸に触れるとしたら必ず交差する形になっているグラフの関数であるべきである .デルタ関数とその性質

さらに (5) 式の応用として次のようなものが有名である . これは として を当てはめただけのことである .

デルタ関数の微分

デルタ関数を微分したものはどんな性質を持つだろうか ? 次のような積分を考えて部分積分をしてみると面白いことが導かれる . この右辺第 1 項は 0 になる . なぜなら , デルタ関数は無限の彼方では 0 だからである . 要するに次のような関係が得られるわけだ . この右辺についてはデルタ関数の基本的な性質から , どうなるかすぐに分かるだろう . である . よって次の関係が成り立っていると言える . これこそが が持つ性質を表している . デルタ関数に似ているが , 少しだけ違う . 任意の関数 とともに積分すると , なぜか における の微分値にマイナスを掛けたものが放り出されてくるのである .

では 2 階微分するとどうなるだろう ? 同じ話を繰り返せばいい . まず次のような積分を部分積分で表す . この右辺第 1 項は 0 になる . なぜなら , デルタ関数を微分したものは 以外ではデルタ関数に良く似ていることが先ほど示されたので , 無限の彼方では 0 だからである . それで次のような関係が得られる . この右辺がどうなるかは , 先ほどデルタ関数の微分の性質が分かったばかりなので当てはめてみれば簡単に分かる . である . よって次の関係が成り立っていると言える . これこそが が持つ性質を表している .

デルタ関数の 1 階微分は奇関数的である

デルタ関数を 1 階微分したものの性質をもう少し調べてみよう . 前にデルタ関数が偶関数的であると説明したときと同じ手順を使う . (7) 式の の代わりに を使ってみよう . この時点で既に , 以前とは違ったことが起こり始めているのが分かるはずだ . の微分は となるので , (7) 式の右辺にあったマイナスが相殺されているのである . この式の左辺の被積分関数内の の符号を入れ替えても全体は変化しないので , となり , これと (7) 式を足し合わせることで , 次の関係が得られる . 要するにこういうことだ . 変数の符号が変わると全体の符号も変わる . 原点以外では 0 のくせして , まるで奇関数のような性質を持つのである . 具体的なイメージは難しいが面白い性質だと言えるだろう .

デルタ関数どうしの積

次のような公式も見られる . 何かすごそうな関係に思えるのだが , (3) 式の の部分にそのままデルタ関数を当てはめて , あとは偶関数的な性質を使って見た目を整えてみただけのものだ .

(1) 式のデルタ関数の定義では を任意の実連続関数だとしていたのだが , そこに連続でも関数でもないデルタ関数そのものを入れてしまったことになる . そんなことをしてもいいのかどうか私には良く分からないが , 公式として出回っているものをとにかく集めてまとめるという方針なので書いておいた .

次の公式もびっくりするようなものだが , 今の式で , とすれば確かにこうなりそうだ . これがどこまで利用価値があるものなのかはよく分からない . このような式を見かけたときに正体が分からなくて驚いたりしないように書いておいた .

デルタ関数を通常の関数で近似することも行われる . 極限を使って でデルタ関数に近付くような関数列を考えるのである . 幾つかの具体例を見た方が早い . これらは で積分すると常に 1 になるし , では は無限大に近付くし , それ以外の点では 0 に近付く . 要するにデルタ関数の形に徐々に近付く .

この2番目と3番目の式の積分が 1 になることを確認するのはちょっとしたテクニックが要って説明が長くなるので略させてもらうことにする . 2番目は複素積分の手法を駆使し , 3番目はこの辺りの公式を使うのである .

このような条件を満たすものは他に幾つでも考えることができる . 教科書では などのようにさらっと出てくることがあるが , そういう式変形をするための特別な技などがあるわけではないので , どうやって導き出したのかと悩む必要はない .

複素フーリエ解析の知識を使うと , デルタ関数を次のように表せることが分かる . デルタ関数の「 フーリエ積分表示 」である . 簡単に「積分表示」とか「積分表現」とも呼ばれる .

フーリエ解析はあとで説明するつもりなので , ここでは別の方法でこの関係が成り立っていそうなことを説明しておこう . まず , 積分範囲を変えた次の式ならば簡単に計算できる . この結果は ! つい先ほどデルタ関数の近似表現として挙げた中に同じ式があったではないか ! ? というわけで , を考えれば , それはデルタ関数である .

3次元のデルタ関数

点状の粒子が に存在することを表すのに を使うと説明したが , これでは 軸上の 1 次元でのことしか表せない .

粒子が 3 デルタ関数とその性質 デルタ関数とその性質 次元空間の一点 に存在することを表したい場合には次のように 3 つのデルタ関数を組み合わせて使えばよい . これを 3 次元で積分すればちゃんと 1 になる . このようなデルタ関数の積を毎回書くのは長ったらしくて面倒なので , 変数部分をベクトルにした というものを使って略して書くことが多い . 3 つのデルタ関数の積であることを強調するために と書く場合もあるようだ .

デルタ関数とその性質

デルタ関数

図1デルタ関数の図示

原点で一本縦にピークが立っているような見た目ですね。 さて、上では\(\delta(x)\)を考えていますが、例えば\(\delta(x-a)\)なら、 \begin \delta(x-a)= \begin 0 & x \neq a \\ \infty & デルタ関数とその性質 x=a \\ \end \end のようになります。これは丁度、発散する位置が\(a\)だけ平行移動した形になっています。
また、定義式(\ref)式と見比べると、\(\delta(x-a)\)が\(a\)以外で\(0\)なので、\(f(x)\) のうち\(f(a)\)のみが抽出されているのだと理解できます。

ちなみにですが、(\ref)式は適当な\(f(x)\)で成り立つ式なので 当然\(f(x-a)\)についても \begin \int_<-\infty>^ デルタ関数とその性質 デルタ関数とその性質 <\infty>f(x-a) \delta(x-a)dx=f(a-a)=f(0) \end がいえます。ここで\(t=x-a\)と置くと \begin \int_<-\infty>^ <\infty>f(t) \delta(t) dt=f(デルタ関数とその性質 0) \end のように原点にピークを持つデルタ関数の表式に帰着できます。このため、デルタ関数の定義を以下のよう に書くこともあります。

基本的な性質(レベル1~2)

デルタ関数の定義(\ref)式において、\(f(x)=1\)の場合を考えると明らかです。 図1のグラフを見ると原点で形式上発散していますが、積分するとこれは\(1\)になるということです。これはデルタ関数の持つ基本中の基本的な 性質ですね。

デルタ関数は(\ref)式のように、積分の中で定義される関数である。 ゆえに デルタ関数とその性質 デルタ関数とその性質 デルタ関数についての等式は、暗に積分の中にあると約束する。

ここから、いくつかデルタ関数の満たす性質(等式)を説明しますが、デルタ関数は普通の関数とは 違って 積分の中でしか定義されません。 なのでそのことを念頭に置く必要があります。

例えば(\ref)式と(\ref)式より、 \begin \int_<-\infty>^ <\infty>f(x) \delta(x-a)dx &=& f(a) デルタ関数とその性質 \\ f(a) \int_<-\infty>^ <\infty>\delta(x-a)dx \ &=& f(a) \end なので、両者は等しく \begin & & \int_<-\infty>^ <\infty>f(x) \delta(x-a)dx \nonumber \\ \label &=&\int_<-\infty>^ <\infty>f(a) \delta (x-a)dx \end が成り立ちますが、これを単に積分を略記して \begin \label f(x) \delta(x-a)デルタ関数とその性質 =f(a) \delta (x-a) \end とすることが多々あります。しかし、デルタ関数は積分の中にあって始めて定義される関数なので、 本当の意味は(\ref)式ということを忘れないようにしましょう。

\(\delta(x)\)と適当な関数\(f(x)\)について以下が成り立つ \begin f(x) \delta(x-a)= f(a) \delta (x-a) \tag> \end 特に、\(f(x)=(x-a)\)の時、 \begin (x-a) \delta(x-a)= 0 \end である。これは両辺をそれぞれ積分すると確認できる。

\(\delta(x)\)は 偶関数 の性質を持つ。即ち \begin \delta(x)= \delta(-x) \end である。

デルタ関数

図1のグラフ (デルタ関数とその性質 再掲)図1:デルタ関数の図示 から何となく想像できますが、デルタ関数は偶関数のような性質を持っています。
ただし、上で述べた通り、この等式は積分の中に入って初めて意味を持つので注意してください。 この性質より、\(f(x)\)が奇関数の時、 \begin \int_<-\infty>^ <\infty>f(x) \delta(x)dx=0 \end になります。典型的なのは、\(f(x)=x\)の場合などです。

\(a\)を\(0\)ではない実数として、デルタ関数について以下が成り立つ。 \begin \label \delta(ax)= \delta(x) \end

比較的よく使うデルタ関数の公式です。証明は デルタ関数の公式(基本編)を 参照してください。

デルタ関数は発散するか\(0\)しかないので、\(\)だけスケールが変わっても 無意味なように思えるかもしれません。このような係数がつく理由は 「デルタ関数が積分して\(1\)になる」 という性質のためです。 \begin \int_<-\infty>^ <\infty>\delta(|a|x)d|a|x=1 \end 上記のように、積分要素が\(dx \to d(|a|x)デルタ関数とその性質 =|a| dx\)だけ変わった時、その変化を打ち消すように \(\delta(x) \to \delta(|a|x)= \delta(x)\)だけ変化すれば、辻褄があって確かに\(1\)に なることが分かります。

デルタ関数は \begin \delta(x)= \begin 0 & x \neq 0 \\ \infty & x=0 \\ \end \tag> \end のように、ピーク以外の値は\(0\)である。ゆえに、ピーク以外の積分範囲は 落としても計算に支障はない。例えば デルタ関数とその性質 \begin & & \int_<-\infty>^ <\infty>f(x) \delta(x)dx \nonumber \\ &=& \int_^ f(x) \delta(x)dx = f(0) \end ただし、\(\varep\)は正の微小な数。

物理の問題では積分範囲が \begin \int_<-\infty>^ <\infty>f(x) \delta(x-a)dx=f(a) \tag> \end のように\(-\infty ~ デルタ関数とその性質 \infty\)であるとは必ずしも限りません。 そんな時はこの考え方が役に立ちます。

積分範囲に関する公式です。 \(\delta(x-a)\)は\(x=a\)以外では\(0\) なので、積分範囲に\(a\)を含まない限り、どんな範囲で積分しても\(0\)になります。 逆に、\(a\) を含む範囲なら、それが有限である限り値を返します。

合成関数のデルタ関数(レベル2)デルタ関数とその性質

デルタ関数について以下が成り立つ。 \begin \label \delta(f(x))= \sum_<1 \over |f'(a_) |> \delta(x-a_) \end ただし、\(a_\)は\(i\)番目の\(f(x)\)デルタ関数とその性質 が\(0\)になる点で、和はそれが複数ある場合に取る。\(f'(a_)\)は \(f(x)\)の導関数の\(a_\)での値。

デルタ関数が合成関数になりました。複雑に見えますが、簡単な例を考えると感覚が掴みやすいです。 例えば\(f(x)=ax\)として選ぶと、\(f(x)=0\)になる点は\(x=0\)しかないため和は不要であって \begin \delta(ax)= ) |> \delta(x-a_) \end また今回は\(a_=0\)で、\(f'(0)=a\)なので \begin \delta(ax)= \delta(x) \end になります。これは定数倍の時の式(\ref)に一致しています。

\(f(x)=0\)の点が複数ある例としては \(f(x)=x^2-a^2\)が有名です。これは\(f(\pm a)=0\)なので 二つの点\(x=\pm a\)で 和を取る 必要があります。結果を書くと以下のようになります。

デルタ関数の微分(レベル2)

デルタ関数の微分について、以下が成り立つ。 \begin f(x)\frac \delta(x)デルタ関数とその性質 =-\delta (x) f'(x) \end ここに、\(f'(x)\)は\(f(x)\)の導関数。

この公式を使えば、 デルタ関数のテイラー展開 を形式的に定義でき、 例えば\(\delta(x+a)デルタ関数とその性質 \)を \(a\)が微小と思って展開すると \begin f(x)\delta(x+a)&=&f(x)\Bigl\\delta(x)+ \cdots \Bigr\> \nonumber \\ &=& \Bigl\a+ \cdots \Bigr\>\delta(x) \nonumber \\ &=& \Bigl\a+ \cdots \Bigr\>\delta(x) \end のように変形できます。ちなみに、最終行右辺の中括弧の中身は\(f(-a)\)のテイラー展開になっているので 上の式は \begin f(x)\delta(x+a) = f(-a)\delta(x+a) \end と同値です。これはデルタ関数の持つ性質(\ref)式そのものであり、 ちゃんとデルタ関数のテイラー展開が矛盾なく機能していることがみてとれます。

多変数の場合(3次元,極座標など)(レベル2)

物理で使うデルタ関数は(\ref)デルタ関数とその性質 式のように1次元であることはまれであり、 3次元または2次元 である ことが多いです。また、多次元で考えるとおのずと変数も増えるので多変数になります。ここでは多変数の場合のデルタ関数について簡単に確認します。

\(\delta^3(\bs)\)は 3次元のデルタ関数 であり、その意味は デカルト座標 において \begin \label \delta^3(\bs-\bs)=\delta(x-X)\delta(y-Y)\delta(z-Z) \end である。

物理でよく目にする表式です。ベクトルが引数になっていて初見だと戸惑うかもしれませんが、これはデカルト座標 の場合\(\bs=(x,y,z),\bs=(X,Y,Z)\)の略記であって、その意味は(\ref)式の右辺であることに注意してください。 同様に2次元の場合は \begin デルタ関数とその性質 \delta^2(\bs-\bs)=\delta(x-X)\delta(y-Y) \end のようになります。いずれの場合も、各成分ごとのデルタ関数は1次元と同じ性質を示します。また、 全空間で積分すると \begin & & \int \mathrm \delta^3(\bs-\bs) \nonumber \\ &=&\int_<-\infty>^ デルタ関数とその性質 <\infty>\mathrm \int_<-\infty>^ <\infty>\mathrm \int_<-\infty>^ <\infty>\mathrm \delta(x-X)\delta(y-Y)\delta(z-Z) \nonumber \\ &=&1 \end

極座標 の場合、デルタ関数は \begin \delta^3(\bs-\bs)=\frac\delta(デルタ関数とその性質 デルタ関数とその性質 r-R)\delta(\theta-\Theta)\delta(\phi-\Phi) \end である。

極座標の場合の表式です。前に係数\(r^2 \sin \theta\)が付いている理由は極座標変換すると、 \begin 1&=& \int_<-\infty>^ <\infty>\mathrm \int_<-\infty>^ <\infty>\mathrm \int_<-\infty>^ <\infty>\mathrm \delta^3(\bs-\bs) \nonumber \\ &=& \int_^ <\infty>\mathrm \int_^ <\pi>\mathrm\int_<-\pi>^ <\pi>\mathrm\ r^2 \sin \theta \delta^3(\bs-\bs) \end (極座標の積分範囲に注意) のようにヤコビアンが出てくるので、それを打ち消すためです。定数倍(\ref)式の時と同じ理由ですね。

(\ref)式で、\(a\)が定数ではなく、変数を含む場合も考えることができます。 その場合でも、普通のデルタ関数と同じように引数が\(0\)、つまり\(x=a-y+b\)の時 ピークが立ち、それ以外ではデルタ関数は値が\(0\)になるので、上の式のようになります。

デルタ関数の公式(基本編)

デルタ関数の定義式 \begin \label \int_<-\infty>^ <\infty>f(x) デルタ関数とその性質 \delta(x)dx=f(0) \end について、これは適当な\(f(x)\)で成り立つので、 当然\(f(-x)\)についても \begin \int_<-\infty>^ <\infty>f(-x) \delta(x)dx=f(0) \end が成り立つ。ここで\(t=-x\)へ置換積分する。 \(t\)の定義域が\(x\) とは反転している ことに注意して \begin \int_<\infty>^ <-\infty>f(t) \delta(-t) (-d t)=f(0) \end 最後に積分変数\(t\)を\(x\)で置き直すと \begin \int_<-\infty>^ <\infty>f(x) \delta(-x)dx=f(0) \end (デルタ関数とその性質 \ref)式と合わせて \begin & & \int_<-\infty>^ <\infty>f(x) \delta(x)dx \nonumber \\ &=& \int_<-\infty>^ <\infty>f(x) \delta(-x)デルタ関数とその性質 デルタ関数とその性質 dx \end これは積分を略記すると \begin \delta(x)= \delta(-x) \end を表す。

定数倍(レベル2)

\(a\)を\(0\)ではない実数として、デルタ関数について以下が成り立つ。 \begin \label \delta(ax)= \delta(x) \end

一方、\(a \(t\)の定義域が\(x\)とは反転している ことに注意して \begin \int_<\infty>^ <-\infty>f(at) \delta(at) (-|a| dt)=f(0) \end これはつまり \begin \label \int_<-\infty>^ <\infty>f(ax) \delta(ax) |a| dx=f(0) \end (\ref)式と(\ref)式を見比べて \begin \delta(ax)= \delta(x) \end と分かる。以上より、\(a > 0\)と\(a 「デルタ関数が積分して\(1\)になる」 という性質のためです。 積分要素が\(dx \to d(|a|x)=|a| dx\)だけ変わった時、その変化を打ち消すように \(\delta(x) \to \delta(|a|x)= \delta(x)\)だけ変化します。

デルタ関数との積(レベル2)

関数\(f(x)\)とデルタ関数\(\delta(x)\)の積について以下が成り立つ。 \begin f(x) \delta(x-y)= f(y) \delta (x-y) \end またデルタ関数同士の積についても同様に デルタ関数とその性質 \begin \delta(x) \delta(x-y)= \delta(y) \delta (x-y) \end が成り立つ。

デルタ関数でよく使う変形です。一つ目の式はデルタ関数の定義(\ref)式 及び\(\int \delta(x) dx=1\)デルタ関数とその性質 より、 \begin \int_<-\infty>^ <\infty>f(x) \delta(x-y)dx &=& f(y) \\ f(a) \int_<-\infty>^ <\infty>\delta(x-y)dx \ &=& f(y) \end がそれぞれ成り立ち両者の左辺を見比べることで導けます。

デルタ関数の微分(レベル2)

デルタ関数の微分について、以下が成り立つ。 \begin \label f(x)\frac \delta(x)=-\delta (x) f'(x) \end ここに、\(f'(x)\)は\(f(x)\)の導関数。

以下のような積分を考える。 \begin I=\int_<-\infty>^ <\infty>f(x) \delta'(x) dx \end ただし、\(\delta'(x)デルタ関数とその性質 \)はデルタ関数の微分。さて、\(I\)を部分積分を使って計算すると \begin I&=&\Bigl[ f(x) \delta(x) \Bigr]_<-\infty>^ <\infty>- \int_<-\infty>^ <\infty>f'(x) \delta(x) dx \nonumber デルタ関数とその性質 \\ &=& - \int_<-\infty>^ <\infty>f'(x) \delta(x) dx \end となる。一つ目のイコールの第一項について、\(\delta(x)\)は\(x=0\)でしか 値を持たないので\(0\)である。

この公式はピークが\(デルタ関数とその性質 x=a\)のデルタ関数に対しても \begin f(x)\frac \delta(x-a)=-\delta (x-a) f'(x) \end のように成り立ちます。また、デルタ関数の微分も普通の微分と同じ性質を持ち、 \begin \frac(f(x) \delta(デルタ関数とその性質 x))&=&f'(x)\delta(x)+f(x) \delta'(x) \\ \frac \delta(g(x)) &=& \left. g'(x)\frac \delta(y) \right|_ \end のように積の微分公式や合成関数の微分公式が使えます。ちなみに、(\ref)式 より積の微分公式の右辺は\(0\)になります。

デルタ関数の微分について、以下が成り立つ。 \begin f(x)\frac \delta(x)=\delta (x) f''(x) \end ここに、\(f''(x)\)は\(f(x)\)の二階導関数。

また、これら公式を使えば、 デルタ関数のテイラー展開 を形式的に定義でき、 例えば\(\delta(x+a)\)を \(a\)が微小と思って展開すると \begin f(x)\delta(x+a)&=&f(x)\Bigl\\delta(x)+ \fraca^2\frac\delta(x) + \cdots \Bigr\> \nonumber \\ &=& \Bigl\a+ \fraca^2\frac+ \cdots \Bigr\>\delta(x) \nonumber \\ &=& \Bigl\\delta(x) \end のように変形できます。ちなみに、最終行右辺の中括弧の中身は\(f(-a)\)のテイラー展開になっているので ちゃんとデルタ関数のテイラー展開が機能していることがみてとれます。

デルタ関数

デルタ関数とは , 空間の一点にだけ存在する粒子を数式中に表現したいためにディラックによって発明された関数である . 理論上の話だが , ある一点において密度は無限大 , しかしその密度を積分して全体量を求めると有限量であるという性質が欲しかったのである . イメージとしては次のような関数である . のところでだけ無限大となり , それ以外のところでは 0 である . しかし無限大というのは数値ではなくて , 限りなく大きくなる極限を考えるときのイメージに過ぎないので , これを定義として使うのは数学的にふさわしくない . しかも「0 を含む区間で積分すると有限の値になる」という性質もまだ言い表せていない .

実は次のように定義しておけば万事解決することが分かる . ここで出てくる は任意の実連続関数であるとする . どんな形の関数 を使っても , デルタ関数と掛け合わせて積分すると , での の値だけが拾われて出てくるとするのである .

なぜこれでうまく行くのかを説明しよう . 上の定義のところに , デルタ関数とその性質 常に 1 であるような関数 を当てはめてみる . すると次のように , デルタ関数を積分すると有限値である 1 になることが導かれる . さらに , どんな関数を使っても における値 しか拾ってこないことから , 以外の区間での の値はデルタ関数によって無効化されていることになる . つまり , 以外の区間では となっているのだと言えるだろう .

というわけで , (1) 式や (2) 式では無限積分を使っているが , 積分区間に を含んでいさえすれば同じ形の式が成り立っているとして良い . デルタ関数は関数に似てはいるが , 実は関数ではない . これを関数だと認めると , 数学での分類の上ですっきりしない部分が出てくるらしいのである . それで数学では関数 (function) ではなく超関数 (distribution) というものに分類されている . しかし物理学徒はそのようなことには無頓着なのだ .

原点以外のところへずらす

デルタ関数 では原点 が特別な点になっている . しかし という形を使うと になるところでデルタ関数の能力が発揮されることになるので , が特別な点になる . この形は粒子が に存在していることを表すのに使われる .

これに関連して , 次のような性質が言えるだろう . このようにすると での関数 の値 が取り出されてくるというわけである .

この性質はちゃんと数式を使って論理的に導き出すことができる . と置き換えた上で (1) 式を当てはめればいい .

偶関数に似た性質

(1) 式の形で定義されたデルタ関数は偶関数に似た次のような性質を持つ . あたかも原点を挟んで左右対称であるようなイメージである .

これを導くには次のようにすれば良い . まず (1) 式の の代わりに を使ってやると , 次のことが言える . 積分範囲が全範囲の積分では被積分関数の積分変数の符号を変えても結果は変わらないので , この左辺の被積分関数の を に置き換えた次の式が成り立つ . この式と (1) 式とで引き算してやれば次の式が成り立つ . これが任意の関数 について成り立つことから , カッコ内も 0 だと言えて , デルタ関数とその性質 先ほど書いた性質が導かれるのである .

実は左右対称ではない形の関数の極限としてのデルタ関数を考えることもできるのだが , その場合でも (1) 式と同じ性質を持つので結局は同じ結論にたどり着くことになる . 先ほどから「デルタ関数は偶関数である」とは言わずに「偶関数に似た性質を持つ」と言っているのはそういう事情があるからである . デルタ関数の本質は積分したときの性質にこそあり , 本当に左右対称であるのかどうかといったイメージの差は積分したときに消えてしまうのである .

普通は (1) 式を使って定義するものであるし , 左右対称のイメージを持っていた方が物理的にも自然なことが多いだろう . それで次のような関係が仮定されることがある . ところで偶関数 には次のような性質が成り立っている . これと同様に という関係が成り立っているのだが , これは別に偶関数の性質を持ち出さなくても (1) 式で とすればすぐに分かることだろう . これを積分記号を省略して次のように書くことがある . デルタ関数は積分してこそ意味があり , いずれ積分されなければならない運命にあるのだから , この形になっていれば積分しようがしまいが 0 であるのと同じだという意味である . これの応用として , 次のように書いたものも成り立っている .

変数のスケールを変える

関数 だったものを にすると , の場合にはグラフは横に押し潰された形になる . デルタ関数の場合には元々一点のみで無限大のグラフなのだから押し潰されてもグラフの形に変わりない感じはするのだが , 次のような関係が成り立っている . これは変だ . 横から押し潰された結果としてなぜか高さが縮むことを表しているように思える . 普通の などのグラフと比べてしまうと逆のことが起きているイメージなのだが , こう考えないと辻褄が合わないので受け入れるしかない .

これを導くには (2) 式の を に変数変換してやればいい . 下から 2 番目の式は積分変数が になっているが , これを代わりに でも でも好きな記号を使って書き換えても結果は同じなわけで , 結局 で書き換えてみたのが最後の式である . それで最初の積分と最後の積分を比較すれば次の式が成り立っていると言えるだろう . しかしこの式は でも正しいだろうか ? デルタ関数とその性質 デルタ関数は変数の正負にかかわらず負になることはないのだから , 右辺は負になり , 左辺は正になる . どこかがおかしい . 実は先ほどの変数変換は の場合には次のように計算しなくてはならないのである . つまり , の場合には である . これらを同時に表したければ次のように表しておけば良いだろう . の場合にはこれらの議論は意味を成さないので , (4) 式のように を分母に持ってきて , 「ただし 」とでも書いておけば , に 0 を入れたりする間違いをかなり防げるだろう .

デルタ関数の中に関数をつっこむ

の形にも依るが , となるような点 は複数あるかも知れず , その全ての点で は無限大になるのだろうと予想が付く . すると , 次のような形で表せば良いだろうか ? しかしこれは少しだけ違うのである . 実際は次のようになる . なぜこうなるのか , (4) 式を知っていれば大体察しが付くだろう . (4) 式における定数 はどんな速度で原点をすり抜けるかを表していると言える . 今回の (5) 式においては , その点における デルタ関数とその性質 の微分が同じ意味を持っているのである .

ところで , デルタ関数の中につっこむことの出来る には制限がある . は 0 になってはいけないので , 軸にギリギリ接するような曲線を持つ関数は (5) 式には当てはめられない . 軸に触れるとしたら必ず交差する形になっているグラフの関数であるべきである .

さらに (5) 式の応用として次のようなものが有名である . これは として を当てはめただけのことである .

デルタ関数の微分

デルタ関数を微分したものはどんな性質を持つだろうか ? デルタ関数とその性質 デルタ関数とその性質 次のような積分を考えて部分積分をしてみると面白いことが導かれる . この右辺第 1 項は 0 になる . なぜなら , デルタ関数は無限の彼方では 0 だからである . 要するに次のような関係が得られるわけだ . この右辺についてはデルタ関数の基本的な性質から , どうなるかすぐに分かるだろう . である . よって次の関係が成り立っていると言える . これこそが が持つ性質を表している . デルタ関数に似ているが , 少しだけ違う . 任意の関数 とともに積分すると , なぜか における の微分値にマイナスを掛けたものが放り出されてくるのである .

では 2 階微分するとどうなるだろう ? 同じ話を繰り返せばいい . まず次のような積分を部分積分で表す . この右辺第 1 項は 0 になる . なぜなら , デルタ関数を微分したものは 以外ではデルタ関数に良く似ていることが先ほど示されたので , 無限の彼方では デルタ関数とその性質 0 だからである . それで次のような関係が得られる . この右辺がどうなるかは , 先ほどデルタ関数の微分の性質が分かったばかりなので当てはめてみれば簡単に分かる . である . よって次の関係が成り立っていると言える . これこそが が持つ性質を表している .

デルタ関数の 1 階微分は奇関数的である

デルタ関数を 1 階微分したものの性質をもう少し調べてみよう . 前にデルタ関数が偶関数的であると説明したときと同じ手順を使う . (7) 式の の代わりに を使ってみよう . この時点で既に , デデルタ関数とその性質 ルタ関数とその性質 以前とは違ったことが起こり始めているのが分かるはずだ . の微分は となるので , (7) 式の右辺にあったマイナスが相殺されているのである . この式の左辺の被積分関数内の の符号を入れ替えても全体は変化しないので , となり , これと (7) 式を足し合わせることで , 次の関係が得られる . 要するにこういうことだ . 変数の符号が変わると全体の符号も変わる . 原点以外では 0 のくせして , まるで奇関数のような性質を持つのである . 具体的なイメージは難しいが面白い性質だと言えるだろう .

デルタ関数どうしの積

次のような公式も見られる . 何かすごそうな関係に思えるのだが , (3) 式の の部分にそのままデルタ関数を当てはめて , あとは偶関数的な性質を使って見た目を整えてみただけのものだ .

(1) 式のデルタ関数の定義では を任意の実連続関数だとしていたのだが , そこに連続でも関数でもないデルタ関数そのものを入れてしまったことになる . そんなことをしてもいいのかどうか私には良く分からないが , 公式として出回っているものをとにかく集めてまとめるという方針なので書いておいた .

次の公式もびっくりするようなものだが , 今の式で , とすれば確かにこうなりそうだ . これがどこまで利用価値があるものなのかはよく分からない . このような式を見かけたときに正体が分からなくて驚いたりしないように書いておいた .

デルタ関数を通常の関数で近似することも行われる . 極限を使って デルタ関デルタ関数とその性質 数とその性質 でデルタ関数に近付くような関数列を考えるのである . 幾つかの具体例を見た方が早い . これらは で積分すると常に 1 になるし , では は無限大に近付くし , それ以外の点では 0 に近付く . 要するにデルタ関数の形に徐々に近付く .

この2番目と3番目の式の積分が 1 になることを確認するのはちょっとしたテクニックが要って説明が長くなるので略させてもらうことにする . 2番目は複素積分の手法を駆使し , 3番目はこの辺りの公式を使うのである .

このような条件を満たすものは他に幾つでも考えることができる . 教科書では デルタ関数とその性質 などのようにさらっと出てくることがあるが , そういう式変形をするための特別な技などがあるわけではないので , どうやって導き出したのかと悩む必要はない .

複素フーリエ解析の知識を使うと , デルタ関数を次のように表せることが分かる . デルタ関数の「 フーリエ積分表示 」である . 簡単に「積分表示」とか「積分表現」とも呼ばれる .

フーリエ解析はあとで説明するつもりなので , ここでは別の方法でこの関係が成り立っていそうなことを説明しておこう . まず , 積分範囲を変えた次の式ならば簡単に計算できる . この結果は ! つい先ほどデルタ関数の近似表現として挙げた中に同じ式があったではないか ! ? というわけで , デルタ関数とその性質 デルタ関数とその性質 を考えれば , それはデルタ関数である .

3次元のデルタ関数

点状の粒子が に存在することを表すのに を使うと説明したが , これでは 軸上の 1 次元でのことしか表せない .

粒子が 3 次元空間の一点 に存在することを表したい場合には次のように 3 つのデルタ関数を組み合わせて使えばよい . これを 3 次元で積分すればちゃんと 1 デルタ関数とその性質 デルタ関数とその性質 になる . このようなデルタ関数の積を毎回書くのは長ったらしくて面倒なので , 変数部分をベクトルにした というものを使って略して書くことが多い . 3 つのデルタ関数の積であることを強調するために と書く場合もあるようだ .

デルタ関数 性質

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高校1年生です。 生物系の大学に行きたいので理系選択をしたいのですが、数学が出来ません。全て出来ないのではなく、1部の範囲がどれだけ勉強しても解けないです。 数IIIが凄く難しいと聞いたので文系に変えようか悩んだのですが、親に大学は自分の学びたい分野を学ぶ場所だと言われたので、やっぱり理系に進みたいです。 数学が得意になる方法はありませんか?

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高1数学Aの順列の問題で、以下の2問の解説をお願いしたいです。 ⚪︎ 6個の数字0,1,2,3,4,5を使ってできる、6桁の整数で5の倍数は何個あるか。ただし、同じ数字は2度以上使わない。 ⚪︎ 5個の数字0,1,2,3,4を使ってできる3桁の整数のうち、次のような整数は何個あるか。ただし、同じ数字は2度以上使わないとする。 ①偶数 ②3の倍数 解説していただけますと有り難いです。お願いします。

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基礎問題精巧Ⅱb 演習問題13の問題 a></p>
<p>0,b >0の時(a+1/b)(b +4/a) ≧9を示し、等号が成立する条件も求めよ で、相加平均相乗平均の関係を用いて示すとどうなりますか? それとも出来ないですか?

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