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フィボナッチ数列の等式

フィボナッチ数列の等式
「日本数学検定協会賞」受賞者の吉田 桃子さんの発表の様子

15歳女子が「フィボナッチ数列は2進数でも美しいのか」を考察 算数・数学の自由研究作品コンクール「MATHコン」で
日本数学検定協会賞を受賞

「日本数学検定協会賞」表彰の様子

「日本数学検定協会賞」表彰の様子

塩野直道記念「算数・数学の自由研究」作品コンクールとは

京都府在住の15歳女子に「日本数学検定協会賞」を授与

「日本数学検定協会賞」受賞者の吉田 桃子さん

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フィボナッチ数列を2進数に変換して規則性を探して考察した研究レポート

「日本数学検定協会賞」受賞者の吉田 桃子さんの発表の様子

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塩野直道記念「算数・数学の自由研究」作品コンクール概要

名称:塩野直道記念 第5回「算数・数学の自由研究」作品コンクール(2017年度)
主催:一般財団法人 理数教育研究所
協賛:株式会社 内田洋行/株式会社 学研ホールディングス/公益財団法人 日本数学検定協会/カシオ計算機株式会社
後援:文部科学省/国立教育政策研究所/読売新聞社/公益財団法人 文字・活字文化推進機構/公益社団法人 全国珠算教育連盟/北海道教育委員会/札幌市教育委員会/旭川市教育委員会/函館市教育委員会/釧路市教育委員会/青森県教育委員会/青森市教育委員会/岩手県教育委員会/宮城県教育委員会/仙台市教育委員会/秋田県教育委員会/山形県教育委員会/福島県教育委員会/茨城県教育委員会/栃木県教育委員会/群馬県教育委員会/埼玉県教育委員会/さいたま市教育委員会/千葉県教育委員会/千葉市教育委員会/東京都教育委員会/神奈川県教育委員会/新潟県教育委員会/富山県教育委員会/石川県教育委員会/福井県教育委員会/長野県教育委員会/静岡県教育委員会/愛知県教育委員会/名古屋市教育委員会/三重県教育委員会/滋賀県教育委員会/京都府教育委員会/大阪府教育委員会/兵庫県教育委員会/奈良県教育委員会/和歌山県教育委員会/鳥取県教育委員会/鳥取市教育委員会/倉吉市教育委員会/島根県教育委員会/松江市教育委員会/出雲市教育委員会/浜田市教育委員会/益田市教育委員会/岡山県教育委員会/岡山市教育委員会/倉敷市教育委員会/山口県教育委員会/山口県小学校教育研究会/山口県中学校教育研究会/徳島県教育委員会/香川県教育委員会/高松市教育委員会/愛媛県教育委員会/高知県教育委員会/高知市教育委員会/福岡県教育委員会/福岡市教育委員会/北九州市教育委員会/佐賀県教育委員会/長崎県教育委員会/長崎市教育委員会/熊本県教育委員会/熊本市教育委員会/熊本県市町村教育委員会連絡協議会/大分県教育委員会/大分県市町村教育委員会連合会/宮崎県教育委員会/宮崎県市町村教育委員会連合会/鹿児島県教育委員会/鹿児島県市町村教育長会/沖縄県教育委員会/沖縄県市町村教育委員会連合会(順不同)
応募資格:小学生、中学生、高校生
※海外の日本人学校も含む。
※グループで応募する場合は、同学年の応募に限る。
審査:1.フィボナッチ数列の等式 フィボナッチ数列の等式 小学校の部 … 低学年の部(1~3年)、高学年の部(4~6年)に分けて審査。
2.中学校の部
3.高等学校の部(高等専門学校3年次までを含む)
中央審査委員:
委員長 根上 生也(横浜国立大学大学院 教授)
委員 銀島 文(国立教育政策研究所 総合研究官)
桜井 進(サイエンスナビゲーター(R))
島田 功(日本体育大学 教授)
中島 さち子(ジャズピアニスト、数学と音楽の研究者)
藤田 岳彦(中央大学 教授)
蒔苗 直道(筑波大学 准教授)
渡辺 美智子(慶応義塾大学大学院 教授) ※五十音順
賞:
<最優秀賞>
・塩野直道賞 全応募作品の中から、小学校低学年の部、小学校高学年の部、中学校の部、高等学校の部から各1作品
・文部科学大臣賞 全応募作品の中から1作品
・Rimse理事長賞 全応募作品の中から1作品
<優秀賞>
・読売新聞社賞 全応募作品の中から1作品
・内田洋行賞 全応募作品の中から1作品
・学研賞 全応募作品の中から1作品
・日本数学検定協会賞 全応募作品の中から1作品
<特別賞>
・審査委員特別賞 全応募作品の中から最大4作品
<奨励賞> フィボナッチ数列の等式
・Rimse奨励賞 小学校低学年の部、小学校高学年の部、中学校の部、高等学校の部から各最大10作品
応募期間:2017年8月20日(日)~2017年9月10日(日)(当日消印有効)
ホームページ:http://www.rimse.or.jp/research/

【本コンクールに関するお問い合わせ先】
一般財団法人 理数教育研究所 「算数・数学の自由研究」係
<大阪オフィス>
〒543-0052 大阪市天王寺区大道4丁目3番23号
TEL 06-6775-6538 / FAX 06-6775-6515
<東京オフィス>
〒113-0023 フィボナッチ数列の等式 東京都文京区向丘2丁目3番10号
TEL 03-3814-5204 / FAX 03-3814-2156
E-mail [email protected]

これでわかる!数列のシグマΣの計算方法を徹底解説

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しかし、 $\sum$ フィボナッチ数列の等式 フィボナッチ数列の等式 フィボナッチ数列の等式 の下で $n=〇$ と書いてしまうと $\sum$ の上の $n$ と混同してしまうので、 $\sum$ の下は $k=〇$ と書き、それに伴い、一般項の式も $n$ をすべて $k$ に変えて、 $S_n=\displaystyle \sum_^n a_k$ と書くようにしましょう。例えば、一般項が $a_n=1+n$ の数列の第 $1$ 項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を $\Sigma$ を用いて表す場合は $\displaystyle S_n=\sum_^(1+k)$ となります。この場合、括弧( )を忘れないようにしましょう。
さて、ここまでで、 $\Sigma$ の記号の意味は理解できたと思います。

数列$\$の一般項が$a_n$の場合、第〇項から第△項までの和は

$$\sum_^△ a_k$$

と表します。ここで$a_k$は$a_n$に$n=k$を代入したものです。

2 覚えるべき公式

2-1 等差数列の和

初項が$a$、公差が$d$、末項(最後の項)が$l$、項数が$n$であるような等差数列の和$S_n$を考えます。この和は次の公式によって与えられます。

と書くこともできます。
特に、初項が$1$、公差が$1$、末項が$n$であるような数列、$1,2,3,\dots ,n$の和$S_n$は

2-2 等比数列の和

次に等比数列の和を考えます。初項が$a$、公比$r$、項数$n$の等比数列の和$S_n$を考えます。
このとき公比$r$が$1$である場合とそうでない場合で公式が異なるので注意が必要です。
まずは$r\neq 1$である場合を考えます。

ここで気をつけるべきことは$r^n$の$n$は「項数」を表していることです。常に$n$である、ということではないので注意するようにしましょう。一方で、$r=1$である場合は

□例1□

2-3 累乗の和

大学入試で覚えるべき累乗の和の公式は自然数の$2$乗の和と$3$乗の和の公式です。まずは$2$乗の和の公式を説明します。
次のような和

1.等差数列の和

2.等比数列の和

3.数列の和の公式

3 $\Sigma$の性質(線形性)

4 $\Sigma$の公式を用いた数列の和の求め方

の2点です。
特に$\Sigma$の計算の際、分数$\displaystyle \left(\text \dfrac, \dfrac\right)$が出てくることが多いですが、それらはくくりだすようにしましょう。

□例4□$\displaystyle \sum_^k(k+2)$を求めます。この場合$k(k+2)$をまず展開します。そうでないと$\Sigma$の公式が使えないからです。ここで、$\Sigma$の公式は足し算引き算定数倍はOKですが掛け算割り算は駄目であることに十分注意が必要です。$k(k+2)=k^2+2k$なので、
\begin
\sum_^k(k+2)
=&\sum_^(k^2+2k)\\[5pt]
=&\sum_^k^2+2\sum_^k\\[5pt]
=&\dfracn(n+1)(2n+1)+2\cdot\dfracn(n+1)\\[5pt]
\mbox<ここで$\dfracn(n+1)$でくくって>
=&\dfracn(n+1)\\\[5pt]
=&\dfracn(フィボナッチ数列の等式 n+1)(2n+7).
\end
このようにだいたいの場合は$\dfracn(n+1)$でくくりだす場合が多いです。

5 よく問われる数列の和

5-1 部分分数分解

この部分分数分解が苦手だ、という人がたまにいますが、メカニズムは至ってシンプルで、「すべての分数を分解する」だけです。いま、$\displaystyle \dfrac=\dfrac-\dfrac$と分解できるので(→詳細はあとで説明します)、
$$S=\left(\dfrac-\dfrac\right)フィボナッチ数列の等式 +\left(\dfrac-\dfrac\right)+\cdots
+\left(\dfrac-\dfrac\right)$$
と書くことができます。これを
$$S=\dfrac+\left(-\dfrac+\dfrac\right)+\left(-\dfrac+\dfrac\right)フィボナッチ数列の等式 フィボナッチ数列の等式 +\cdots
+\left(-\dfrac+\dfrac\right)-\dfrac$$
とみれば、$ \dfrac$と$ \dfrac$以外の項はすべて消去されて、
$$S=\dfrac-\dfrac=\dfrac$$
と求めることができます。

■部分分数分解のメカニズム■

5-2 (等差数列)$\times$(等比数列)

これは係数部分に注目すると、$1,\ 3,\ 5,\dots,\ 2n-1$と等差数列になっており、また$x$の部分に注目すると$1,\ x,\ x^2,フィボナッチ数列の等式 \dots,\ x^$となっています。このような数列の和を求める場合は$S$に等比数列の「公比」(この場合は$x$)を掛けた$xS$を$S$から引いた式、$S-xS$を考えるのがポイントです。一般にこのような数列の和を求める場合、$x=1$と$x\neq1$の場合に分けて考えることが必要なので、問題の条件を見落とさないように注意しましょう。では、実際に計算していきます。まずは$x\neq1$の場合を考えます。$S=1+3x+5x^2+\cdots+(2n-3)x^+(2n-1)x^$より

6 群数列

群数列とは数列の項を一定の規則に従ってブロック(=群)に分けてできる数列です。

そこで第$n$群の最初の数を$a_n$とおくと、
\begin
a_n
&=\sum_^k+1\\[5pt]
&=\dfrac(n-1)n+1\\[5pt]
&=\dfrac(n^2-n+2)
\end
となります。ここで、シグマ$\Sigma$の上は$n$ではなく$n-1$であることに注意しましょう。もちろん、$\Sigma$を使わなくても何とか求めることは可能ですが、$\Sigma$を用いることで解答がすっきり見え、また公式を使うことで計算ミスも減らせるので、このように$\Sigma$が使える場合は積極的に使うようにしましょう。この第$n$群についてもう少し考察してみましょう。第$n$群の最後の数について考えて見ます。まず、群に分ける前の数列は初項が$1$、公差が$1$の等差数列です。第$n$群の最初の数が$a_n$であることと、第$n$群は$n$個の項で構成されているので、第$n$群の最後の数を$b_n$とすると、
\begin
b_n
&=a_n+(n-1)\times 1\\[5pt]
&=\dfrac(n^2-n+2)+(n-1)\\[5pt]
&=\dfrac\\\[5pt]
&=\dfrac(n^2+n)\\[5pt]
&=\dfracn(n+1)
\end
となります。あるいは、第$n+1$群の最初の数が$a_$であることから
\begin
b_n
&=a_-1\\
&=\dfrac\-1\\[5pt]
&=\dfrac(n^2+n+2)-1\\[5pt]
&=\dfrac(n^2+n)\\[5pt]
&=\dfracn(n+1)
\end
と求めることも可能です。いずれにしても$b_n$の表し方は一通りです。ではこの群数列で、第$n$群にあるすべての自然数の和はどうなるのでしょうか。第$n$群は初項が$a_n$、末項が$b_n$、項数が$n$の等差数列とみることができるので、第$n$群にあるすべての自然数の和$S_n$は、
\begin
S_n
&=\dfracn(フィボナッチ数列の等式 フィボナッチ数列の等式 a_n+b_n)\\[5pt]
&=\dfracn\left\<\dfrac(n^2-n+2)+ \dfracn(n+1)\right\>\\[5pt]
&=\dfracn(2n^2+2)\\[5pt]
&=\dfracn(n^2+1)
\end
となります。このように、群数列は等差数列の和を求める公式を使っていろいろ求めることができるので、群数列が苦手!という人は、群数列には等差数列が隠れている、ということに注意してみましょう。

◇まとめ◇

7 おすすめの参考書

『数列 (モノグラフ 14)』

数列を完璧にしたいという人はこの本が最適です。その名の通り、数列に特化しています。扱っている問題のレベルは初歩レベルから最難関レベルまで様々です。教科書以上のレベルで難関大を受験したい人はこの本で学ぶと良いでしょう。

『荻島の数学II・Bが初歩からしっかり身につく「数列+ベクトル」』

教科書の説明がよくわからず数列が苦手だという人はこの本がぴったりです。扱っている問題のレベルは教科書の例題レベルのものがほとんどです。
問題を解く際に注意すべきポイントや試験で問われやすいポイントが的確に記されています。解説や途中式は丁寧ですが、さらにその式変形に多く説明が書かれているので、まずは教科書レベルの問題が解けるようになりたい人はこの本で勉強するとよいでしょう。

『数学B 高速トレーニング数列編』

この本はとにかく教科書の練習問題~章末問題レベルの問題が豊富です。計算ドリルのようにとにかく繰り返し問題を解いて計算力を向上させたい人はこの本がお薦めです。
ただ、レイアウトは少し見にくく、くせがあり、また解説もそれほど丁寧ではありません。一度も数列を勉強したことない人にはおすすめしません。また、この本には群数列についての問題が載っていないので、群数列についての問題を解きたい場合はこの本と同じシリーズの「漸化式・群数列編」を購入する必要があるので注意が必要です。

『理解しやすい数学II+B 新課程版』

この本は問題の種類が豊富です。よってどんなレベルの人でも取り組むことができます。どの参考書を買えばよいか迷った場合はこの本を買うとよいでしょう。基礎がまだできてない、教科書の問題がよくわからない場合は基本問題のみを、そうでない方はすべての問題に取り組むといいでしょう。
この本では問題を解く際にどの部分に着眼すべきか、公式をどのように使えばよいのかの説明が大変詳しいです。量は「チャート式」と同様にかなりあるので、独学ですべて勉強する場合は相当根性が必要になります。ゆえに、授業と並行して授業の補足として問題を取捨選択しながら用いるのがよいでしょう。特に授業の類題を解くといいでしょう。余談ですが、著者の藤田宏さんは世界的に超一流の数学者だった方です。

8 まとめ

数列の和を求める際、ほとんどの場合において$\Sigma$の公式を用います。公式を覚えるのはもちろんですが、それ以上に式をきっちりまとめる計算力が試験では問われます。特に共通テストなどのマークシートの試験ではそれが顕著です。どんなに途中式が合っていても最後の最後に計算を間違えれば0点です。

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フィボナッチ数列と面積1のパラドックス

面積1のパラドックスの定番

なんと、両端の数の積 ac と真ん中の数の2乗 b 2 との差が 1 である、というわけですね。
ちょっと検証してみましょう。
例えば、3, 5, 8 の場合は 3×8-5 2 =24-25=-1 ですね。
そして、34, 55, 89 の場合は 34×89-55 2 =3026-3025=1 となる。
どの隣接3数をとるかによって引き算結果は変わるんだけれど、どっちにしても差は必ず 1 になるわけです(普通、「差」といえば大きい数から小さい数を引いた値のことを指しますもんね)。
なんとも不思議。

実を言うと、この法則はすでに証明されていて、「カッシーニ - シムソンの定理」と呼ばれるそうです。
その定理を以下に示します。
余力のある方々は、手頃な演習問題として証明してみるのもいいでしょう。

a[k+1]^2-a[k]・a[k+2]=±1

3.おぉ! 同じパラドックス話だ!

34×55バージョン

これまで、2つの話をしました。
セクション1は「面積1のピースが余っちゃう!」という話。
セクション2は「ac と b 2 の差は必ず 1 になる!」という話。
どちらも、意味合いとしては「差が1だけ生じる」と言えますね。
実は、一般化のカギはここにあるんです。

1で紹介した2つの図形は タテ13×ヨコ21 のサイズでした。
この 13 と フィボナッチ数列の等式 21 はフィボナッチ数列の中に現れています。
果たして、これは偶然なのか……?

  • フィボナッチ数列の中の隣り合う2つの数 c, d(c<d)を使って、タテc×ヨコdサイズの直角三角形モドキを作る。
    すると、同じようなパラドックス話を展開することができる。

実際にやってみましょう。
1は c=13, d=21 の場合でした。
ここでは c=34, d=55 としてみましょう。
さぁ、図3-1 の通りです!

おぉ、なんと言うことか。
セクション1で書いたパラドックスそのまんまの話ができあがってしまった。
すごいね!
「なんか分割して並べかえたら面積1のピースが余ったよ😅」って、まったく同じ話なんだもの!

4.一般的な話

一般的な図

フィボナッチ数列の中の隣り合う4つの数 a, b, c, d (a<b<c<d) を拾って、図4-1 の通りに図形を作ってみる。
すると、図形内部の長方形と正方形の面積は常に 1 だけ違うんです。
その理由は、セクション2で述べた「ac と b フィボナッチ数列の等式 2 の差は 1 である」です。

フィボナッチ数列において隣り合う3数は足し算の関係にある、ということを思い出しましょう。
a+b=c と b+c=d が成り立っていて、図4-1 は正しい図です。

ただ、注意しなければいけないのは、ac-b 2 =1 だけでなく ac-b 2 =-1 が成り立つ場合もあるということ。
つまり、隣接4数 a, b, c, d の選び方によっては長方形の方が広い場合もあるし、逆に正方形の方が広い場合もあるんです。

ということは、パラドックス話をもう1種類作れますね。
セクション1と3では「面積1のピースが余った!」という話を紹介したけれど、逆の話もできる。
「あれ? 面積1のピースが足りないぞ?」なんてね。

ちなみに、1の話は a=5, b=8, c=13, d=21 の場合、3の話は a=13, b=21, c=34, d=55 の場合に相当します。

いや〜すごい!
フィボナッチ数列ひとつで、いろんなサイズのパラドックス話ができる。
こうなったら、大きな直角三角形モドキをつくって独自のパラドックス話を講じてみるのも一興かもしれません。
例えば、タテ233×ヨコ377 サイズなんてどうでしょ?

5.もうひとつのパラドックス話

もうひとつ

もうひとつ、似たようなパラドックス話がありますよね。
図5-1 のように、正方形を4つに分割して並べかえると……

これも「1違いパラドックス」の定番だけれど、図5-1 をよく見ると、正方形&長方形ともに各辺の目盛り数字には 5, 8, 13 がある。
フィボナッチ数列に存在する数字なんです。
そして、長方形と正方形の面積計算に現れる数字は 8, 13, 21。
これもフィボナッチ数列に存在している。

  • フィボナッチ数列の隣り合う3つの数 b, c, d (b<c<d) を拾い、一辺を c とする正方形 と タテ b ×ヨコ d サイズの長方形を作る。
    これで、同じようなパラドックス話を展開できる。

もうひとつ

フィボナッチ数列の中の隣り合う4つの数 a, b, c, d(a<b<c<d)を拾って、図5-2 の通りに正方形と長方形を作る。
すると、この2つの面積は常に 1 だけ違うんです。
なぜなら、b, c, d はフィボナッチ数列の隣り合う3数だから。
セクション2で「両端の数の積と真ん中の数の2乗との差が 1 である」と述べました。このおかげで bd と c 2 の差は必ず 1 になるわけなんですね。

もちろん、セクション4と同様に、4数 a, b, c, d の選び方によっては bd-c 2 =1 だけでなく フィボナッチ数列の等式 bd-c 2 =-1 が成り立つ場合もあります。
だから、「面積1減った!」という話のほかに「面積1増えた!」なんていう話もできたりするわけです。

足し算の連続で作られたフィボナッチ数列。
これがパズルの世界にも関わっている。
面白いモンです。

オマケとして、フィボナッチ数列に関してもうひとつ。
セクション1や3にある図を見ると、少し濃いめの直角三角形が2つあって斜辺がほとんど同じ傾きになってますよね。
これにもちょっとした秘密がありまして。

濃いめの直角三角形、縦横の長さを見てみましょう。
1では、小さい方は フィボナッチ数列の等式 フィボナッチ数列の等式 フィボナッチ数列の等式 5 と 8、大きい方は 8 と 13 ですね。
3では、小さい方は 13 と 21、大きい方は 21 と 34 です。
この数字達をよく見ると……、フィボナッチ数列の中で隣り合う数になっているんです。

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ……

斜辺の傾き具合は、直角を挟む2辺の縦横比によって決まります。
そして、その縦横比が等しければ、傾きも同じになるんですね。
では、図6-1 にある4つの直角三角形の縦横比をそれぞれ計算してみましょう。
ヨコ幅をタテ幅で割り算してみます。

おおぉ! ずいぶん似たような値が並びましたね。 フィボナッチ数列の等式
縦横比はどれも 1:1.61 くらいかな😃

なんと! 先の4つよりもさらに値が似ている!
縦横比は 1:1.618 くらいですね。

この 1.フィボナッチ数列の等式 618 という数字、何者なんでしょう?
……と言っても、ピーンときた方々は多いかもしれません。
有名な値ですもんね。

そうです。
この 1:1.618 という比、一般に「黄金比」と呼ばれているんです。
この黄金比、フィボナッチ数列との間には関係がひとつありまして。
実は、こんなことが成り立つんです。

隣り合う2項の比=1:(1+√5)/2

セクション1や3にある「変形前・変形後」の図形って、本当に合同にしか見えませんでしたよね。
それは、直角三角形の縦横比がすべて似通った値だったからなんです。
だから、斜辺の傾きが同じにしか見えず、面積1のパラドックスに悩まされていたというわけなんですね。

ちなみに、2の「カッシーニ - シムソンの定理」と同様に、この黄金比に関する性質もすでに証明されています。
その定理を以下に示します。

lim[n→∞] a[n+1]/a[n]=(1+√5)/2

黄金比は実にさまざまなモノと関係が深かったりします。
フィボナッチ数列のほかには、正五角形の対角線とか正20面体とか。
興味があれば、いろいろ調べてみてください。

Pythonで再帰的な関数を利用してフィボナッチ数列を実装する方法を現役エンジニアが解説【初心者向け】

田島悠介

大石ゆかり

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フィボナッチ数列とは

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Pythonのlinspaceメソッドの使い方を現役エンジニアが解説【初心者向け】

Pythonのlinspaceメソッドの使い方について解説します。linspaceを使うことでコード量を減らし読みやすいプログラムを組むことができるようになります。ぜひ参考にしてみてください。 そもそもPythonについてよく分からないという方は、Pythonとは何なのか解説した記事を読むとさらに理解が深まります。 なお本記事は、TechAcademyのオンラインブートキャンプPython講座の内容をもとに紹介しています。 田島悠介 今回は、Pythonに関する内容だね! 大石ゆかり どういう内容でしょうか? 田島悠介 Pythonのlinspaceメソッドの使い方について詳しく説明していくね! 大石ゆかり お願いします! linspace()とは? まず、linspace()について説明します。 linspace()はPythonのライブラリNumpyの関数で、 数列を作りたいときなどによく使われる便利な関数です。数列を作りたいときというのは、関数のグラフの描画をするときなどが挙げられます。 linspace()で作ることのできる数列には次のようなものがあります。 array([ 0., 3., 6., 9., 12., 15., 18., 21., 24., 27., 30.]) これは、0から始まって30まで3ずつ増えていく数列です。このような数列は同じNumpyライブラリのarange()関数を使って作ることもできます。 しかし、linspace()関数を使うことで少ないコードで書くことできるので、コードを書く方にも読む方にも利点があります。 NumPyのインストール linspace()関数を使う前に、まずはNumpyをインストールしましょう。基本的には、Pythonのパッケージ管理ツールであるpipコマンドを使えば、 フィボナッチ数列の等式 pip install numpy を実行するだけでインストールができるはずです。Numpyがインストールできていることを調べます。 pip list を実行すると、これまでにインストールしたパッケージが確認できます。リストの中にnumpyが確認できたら大丈夫です。 [PR] Pythonで挫折しない学習方法を動画で公開中linspace()の使い方 linspace()は、公式のドキュメントで、 numpy.linspace(start, stop, num = 50, endpoint = True, retstep = False, dtype = None) と書かれているように引数は6つありますが、linspace()は基本的に3つの引数を指定して使います。実用上知っておくべきなのは、start, stop, numの3つです。 startは数列の開始点を指定する stopは数列の終了点を指定する numは数列の要素の数を指定する ものです。 他の引数については、endpointは数列の終了点を要素に含めるかどうかを、retstepは数列の公差を表示するかどうかを、dtypeは数列の各要素のデータ型を、それぞれ決めるものです。 これらに関しては、ドキュメントにも詳しく説明されているので、必要に応じて目を通しておくと良いでしょう。 linspace()を実行すると数列のndarrayが出力されます。retstepがTrueになっている場合は、数列の公差も出力されます。 linspace()を利用して数列を生成してみよう それでは実際にlinspace()を使ってみましょう。まずは、 import numpy as np を実行してNumpyをインストールします。そして、まずは、00から始まって30まで3ずつ増えていく数列を出力しましょう。 print(np.linsapce(0 ,30, 11)) これを実行すると、 [ 0. 3. 6. 9. 12. 15. 18. 21. 24. 27. 30.] と表示されると思います。retstepをTrueにして、 print(np.linsapce(0 ,30, 11), retstep=True) を実行すると (array([ 0.,

Pythonで再帰関数を作る方法【初心者向け】

Pythonで再帰関数を作る方法について解説します。 そもそもPythonについてよく分からないという方は、Pythonとは何なのか解説した記事を読むとさらに理解が深まります。 なお本記事は、TechAcademyのオンラインブートキャンプPython講座の内容をもとに紹介しています。 田島悠介 今回は、Pythonに関する内容だね! 大石ゆかり どういう内容でしょうか? 田島悠介 再帰関数を作る方法について詳しく説明していくね! 大石ゆかり お願いします! 再帰関数とは 再帰関数とはプログラミングの手法の1つで、プログラムの中に自分自身の呼び出しが含まれているものを言います。 再帰関数は、繰り返し関数と同様に、同様な処理を複数回行う場合に利用されますが、より複雑な問題を簡単な問題に置き換えて処理できると言われています。再帰関数は以下のような場面で利用されています。 データ処理 フィボナッチ数列の等式 複数のデータをソートしたり、繰り返し処理を行う場合、データ構造によっては再帰関数を使うと効率的な場合があります。 再帰データ型 複雑な問題の解決 よく例題としてあげられるのが「ハノイの塔」の問題です。一定のルールに従い、毎回状態が変わる処理に対して、再帰関数を使うと簡単な問題に置き換えて処理することができます。 ハノイの塔 構文解析(自然言語処理) 自然言語処理において、文章を単語に分解する処理を、再帰関数を用いて行う場合があります。自然言語処理については以下の記事も参考にしてください。 自然言語処理とは!仕組みやライブラリを解説 余談ですが、再帰的表現はプログラミングで古くから用いられており、コンピュータ関連の用語にもしばし登場します。例えば「Linux」は「Linux is not unix」の略語であり、自分自身がもととなる文章に含まれています。 再帰的頭字語 Pythonで再帰関数を作る方法 Python ではユーザー定義関数を利用して再帰関数を作成することができます。 def myfunc(x): if 終了条件: return x // 何かの処理を行う myfunc(x) 注意点は以下の通りです。 必ず終了条件を入れましょう。終了条件が無いと永久に再帰呼び出しを行い、処理が終わらなくなってしまいます。 再帰呼び出しを行う際の引数に注意しましょう。こちらも状態が変わらないままだと、終了条件の判定が正しく行えません プログラムの内容が複雑だと感じたら、再帰関数以外で実現出来ないか考えてみましょう。再帰関数はシンプルに記述できる反面、処理を追いづらくバグを発見しづらいという面もあります。 [PR] フィボナッチ数列の等式 Pythonで挫折しない学習方法を動画で公開中実際に書いてみよう 今回のサンプルプログラムでは、1からnの整数の和を返すプログラムを、再帰関数を使った場合と使わない場合で確認します。はじめに再帰関数を使わない場合です。 def sum(n): ret = 0 for i in range(1, n + 1): ret += i return ret s = sum(100) print("1から100の合計は", s,

Pythonで等差数列を作る方法【初心者向け】

Pythonで等差数列を作る方法について解説します。 そもそもPythonについてよく分からないという方は、Pythonとは何なのか解説した記事を読むとさらに理解が深まります。 なお本記事は、TechAcademyのオンラインブートキャンプPython講座の内容をもとに紹介しています。 田島悠介 今回は、Pythonに関する内容だね! 大石ゆかり どういう内容でしょうか? 田島悠介 Pythonで等差数列を作る方法について詳しく説明していくね! 大石ゆかり お願いします! 等差数列を作る方法 等差数列とは、隣の値(項)との差が同じ数列のことです。例えば以下のような数列です。 10, フィボナッチ数列の等式 20, 30, 40, 50, . Python で等差数列を作成する方法はいくつかあります。 rangeを使う方法 range(開始, 終了, フィボナッチ数列の等式 ステップ) 開始から終了-1までの範囲で、ステップの差で数列を作成します。戻り値は range 型となります。 NumPy の arange を使う方法 numpy.arange(開始, 終了, ステップ, dtype) こちらも同様です。開始とステップ、dtypeは省略できます。dtypeは数列の要素の型を指定します。初期値はNone(開始や終了の型に合わせる)です。 NumPy の linspace を使う方法 numpy.linspace(開始, 終了, 分割数, endpoint = True, retstep = False, dtype = None) こちらは上記とは考え方が異なり、開始から終了までの範囲を分割数で分割した数列を返します。終了も含みます。開始と終了は必須です。その他のオプションは省略可能です。 オプション 説明 既定値 分割数 出来上がる数列の要素数 50 endpoint 終了を要素に含むか True retstep Trueにすると公差を表示 False dtype 数列の要素の型 None(float型になる) 実際に書いてみよう 今回は上記の3つの方法における等差数列の書き方を確認します。確認しやすいよう、結果は NumPy 配列型で表示することとします。プログラムは Python インタプリタで入力していきます。事前に Python と NumPy ライブラリをインストールする必要があります。はじめに必要なライブラリをインポートしておきましょう。 import numpy as np 最初は range を使う方法です。 np.array(range(10, 151, 10)) フィボナッチ数列の等式 実行結果は以下のようになります。 array([ 10, 20, 30, 40, 50,

PHPで再帰処理を実装する方法を現役エンジニアが解説【初心者向け】

今回は、PHPで再帰処理を実装する方法について、TechAcademyのメンター(現役エンジニア)が実際のコードを使用して初心者向けに解説します。 PHPについてそもそもよく分からないという方は、PHPとは何なのか解説した記事を読むとさらに理解が深まるでしょう。 なお本記事は、TechAcademyのオンラインブートキャンプPHP/Laravel講座の内容をもとに紹介しています。 田島悠介 今回は、PHPに関する内容だね! 大石ゆかり どういう内容でしょうか? 田島悠介 PHPで再帰処理を実装する方法について詳しく説明していくね! 大石ゆかり お願いします! この記事ではPHPで再起処理を実装する方法について解説します。 目次 再帰とは 再帰関数の使い方 再帰処理の例 実際に書いてみよう まとめ 再帰とは 再帰処理とは、関数がメソッドの中で自分自身を呼び出す処理のことです。 再帰処理は自分自身を呼び出すため適切な終了処理をしない限り無限ループになってしまう点に注意する必要があります。 [PR] Pythonで挫折しない学習方法を動画で公開中再帰関数の使い方 再帰関数は関数の中に自分自身を呼び出すことをいいます。ただそのままだと無限に自分自身を呼び出し続けるため終了条件が必要になります。 再帰関数は以下のように書きます。 function 関数名(引数) < if (終了条件) < return 戻り値; >else < 関数名(引数); return 戻り値; >> 自分自身を再度呼ぶ際に同じ引数を設定すると無限ループになるため引数を別の値に変えるようにする必要があります。 再帰処理の例 再帰処理の例として階乗の計算について紹介します。 階乗とは数学の計算方法の1つで4!や5!のように「数字!」と書きます。1から数字までの整数を掛け合わせた値を得ることができます。 6!だと以下のような計算になります。 6! = 1 * 2 * フィボナッチ数列の等式 3 * 4 * 5 * 6; ただこの計算はこのような理解もできます。 6! = 5! * 6; 6! = (4! * 5) * 6 6! = ((3! * 4) * 5) *

フィボナッチ数列について(その2)-フィボナッチ数列はどこで使用され、どんな場面に現れてくるのか(自然界)- | ニッセイ基礎研究所

フィボナッチ数列について(その2)-フィボナッチ数列はどこで使用され、どんな場面に現れてくるのか(自然界)-

保険研究部 研究理事 中村 亮一

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葉序(植物の葉の付き方)

葉序(ようじょ)(phyllotaxis」というのは、植物の葉が茎に対して配列するときの様式をいう。この葉序は、主として以下の3つに分類される。

(1) 1つの節(茎に葉がついている部分)に葉が1枚ついている「互生葉序
(2) 1つの節に2枚の葉をつける「対生葉序
(3) 1つの節に3枚以上の葉を生じる「輪生葉序

葉序のタイプ

1850年代に、ドイツの植物学者であるカール・フリードリヒ・シンパー(Karl Friedrich Schimper)とアレクサンダー・カール・ハインリヒ・ブラウン(Alexander Carl Heinrich Braun)は、葉序における数列と開度の関係に関する「シンパー‐ブラウンの法則(Schimper~Braun's Law)」と呼ばれる法則を発見し、葉序のタイプが、nを自然数として、以下の数式で表されることを示した。

シンパー‐ブラウンの法則

さらに、二葉間の角度である「開度」が、以前の研究員の眼「黄金比φについて(その1)-黄金比とはどのようなものなのか-」(2020.11.10)で説明した「黄金角(約137.5度)」 1 に近づいていくことを示した。上記の式において、n=2の場合がフィボナッチ数列によるものとなる。

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