Linux Programming
1 から n までの合計値を関数 sum_of_xxx_1 で求めます。あとは sum_of_xxx_1(m) - sum_of_xxx_1(n - 1) を計算するだけです。sum_of_xxx の引数 n, m は int 整数の公式でフィボナッチ数列を求める で、sum_of_xxx_1 の引数 n は double です。この場合、Ｃ言語は int を double に変換して、sum_of_xxx_1 整数の公式でフィボナッチ数列を求める に渡します。printf の書式 %.0f の .0 は精度の指定です。f 指定子の場合、精度は小数点以下の桁数を表します。.0 と指定することで、小数点以下を非表示にすることができます。
累乗は x の n 乗という x を n 回掛ける計算です。累乗は x の右上に小さく n を書くことで表されますが、ここでは x ** n と書くことにします。
これをそのままプログラムしたものが関数 power です。プログラムは簡単なので説明は割愛します。この場合、n 回の乗算が必要になります。ところが、式を変形するともっと少ない回数で求めることができます。
階乗の計算では n を n - 1 の計算に置き換えていきますが、累乗の場合は y を y / 2 に置き換えていくことができます。y が半分になっていくので減少の度合いが大きくなり、計算回数は少なくて済みます。x ** (y / 2) を計算する部分は、再帰を使えば簡単です。
この考え方でプログラムしたものが関数 power_rec です。局所変数 z を定義します。z の値は x ** (y / 2) です。これは power_rec を再帰呼び出しすれば簡単に求めることができます。あとは、y が偶数であれば z * z を返し、奇数であれば x * z * z を返します。このように、再帰呼び出しを使って累乗を効率的に計算することができます。
フィボナッチ関数は再帰呼び出しを使えば簡単にプログラムできます。関数 fibo は自分自身を 2 回呼び出しています。これを「二重再帰」といいます。fibo の呼び出しをトレースすると下図のようになります。
同じ値を何回も求めているため、関数 fibo の効率はとても悪いのです。この場合、二重再帰を「末尾再帰」に変換すると高速化することができます。累算変数を使って二重再帰を末尾再帰へ変換したものが関数 fibo_rec と fibo_sub です。
関数 fibo_sub の累算変数 a 整数の公式でフィボナッチ数列を求める と b の使い方がポイントです。現在のフィボナッチ数を変数 a に、ひとつ前の値を変数 b に格納しておきます。あとは a と b 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 整数の公式でフィボナッチ数列を求める を足し算して、新しいフィボナッチ数を計算すればいいわけです。fibo_sub の呼び出しを下図に示します。
Ｃ言語の場合、規格では末尾再帰最適化をサポートしてませんが、末尾再帰を繰り返しに変換することは簡単です。関数 fibo を繰り返しに変換すると関数 fiboi のようになります。このように、末尾再帰は簡単に繰り返しに変換することができます。
組み合わせの数 nＣr を (n, r) と表記します。(n, r) を求めるには、次の公式を使えば簡単です。
皆さんお馴染みの公式ですね。ところが、整数値の範囲が限られているプログラミング言語では、この公式を使うと乗算で「桁あふれ」を起こす恐れがあります。Ｃ言語の整数 (int や long log int など) は多倍長整数ではないので、この公式をそのままプログラムするわけにはいきません。そこで、次の公式を使うことにします。
この式は (n, 整数の公式でフィボナッチ数列を求める r) と (n, r - 1) の関係を表しています。あとは階乗やフィボナッチ関数と同じように、再帰定義を使って簡単にプログラムできます。
とても簡単ですね。ところで、Ｃ言語の int は 32 整数の公式でフィボナッチ数列を求める bit なので、このプログラムでも桁あふれする場合があります。どこまで計算できるか試してみましょう。
Ｃ言語の場合、桁あふれが発生してもランタイムエラーは発生しません。int のかわりに long long int を使うと、もう少し大きな値でも計算することができます。関数 combinationl は long long 整数の公式でフィボナッチ数列を求める int を使って計算するバージョンです。printf で long long int を表示する場合、%lld のように変換修飾子 ll を付けてください。
実際の処理は関数 整数の公式でフィボナッチ数列を求める perm_sub で行います。第 3 引数 k が選んだ数字の個数を表します。k と m が等しいときが再帰呼び出しの停止条件になります。print_perm で順列を表示します。選んだ数字 i を配列 buffer[k] に格納し、配列 used[i] に印をつけてから perm_sub を再帰呼び出しします。再帰呼び出しから戻ってきたら used を元に戻します。これで順列を表示することができます。
重複順列は簡単です。数字は重複してもよいので、配列 used で数字をチェックする必要はありません。実行結果は次のようになります。
1 から 5 までの数字の中から 3 個を選ぶ組み合わせは次のようになります。
最初に 1 を選択した場合、次は [2, 3, 4, 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 5] の中から 2 個を選べばいいですね。2 番目に 2 を選択したら、次は [3, 4, 5] の中から 1 個を選べばいいわけです。これで、[1, 2, 3], [1, 2, 4], [1, 2, 5] が生成されます。[2, 3, 4, 5] の中から 2 個選ぶとき、2 を選ばない場合があります。この場合は [3, 4, 5] の中から 2 個を選べばいいわけです。ここで 3 を選ぶと [1, 3, 4], [1, 3, 5] が生成できます。同様に、3 を除いた [4, 5] の中から 2 個を選ぶと [1, 4, 5] 整数の公式でフィボナッチ数列を求める を生成することができます。
これで 1 を含む組み合わせを生成したので、次は 1 を含まない組み合わせ、つまり [2, 3, 4, 5] から 3 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 個を選ぶ組み合わせを生成すればいいわけです。けっきょく、この処理の考え方は組み合わせの公式と同じです。
実際の処理は関数 comb_sub で行います。comb_sub は、1 から n までの数字の中から r 個を選ぶ組み合わせを生成します。引数 m 整数の公式でフィボナッチ数列を求める は選んだ数字の個数を表します。選んだ要素は配列 buffer に格納します。r が 0 になったら組み合わせを一つ生成できたので、関数 print_combinaion で組み合わせを表示します。
あとは n が 0 より大きければ comb_sub を再帰呼び出しするだけです。最初の呼び出しは数字 n を選ばない場合です。残りの数字の中から r 個の数字を選びます。最後の呼び出しが数字 n を選択する場合です。数字 n を buffer に追加して、残りの数字の中から r - 1 個を選びます。
重複組み合わせを求める repeat_comb も簡単です。実際の処理は関数 comb_sub で行います。最後の 整数の公式でフィボナッチ数列を求める else if 節では、n を選んだあとそれを取り除かないで r - 1 個の要素を選びます。実行結果は次のようになります。
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関数の再帰呼び出しで階乗の計算
階乗を計算する\(a_n = n!\ (n \geq 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 0)\)は，以下の漸化式で表すことができます．
\begin a_n = \begin a_0 = 1 & (n 整数の公式でフィボナッチ数列を求める = 0) \\ a_n = n * a_ & (n \geq 1) \end \end
関数の再帰呼び出しで順列の計算
順列の計算式\(<>_n \mathrm_r (n \geq r)\)は以下になります．
$$<>_n \mathrm_r = n * (n - 1) * (n - 2) * \ldots * (n - r + 1) = \frac$$
3行目の行末に5と3を入力したら，\(整数の公式でフィボナッチ数列を求める <>_5 \mathrm_3 = 60\)と正しく計算できていることがわかります．
関数の再帰呼び出しで組み合わせの計算
組み合わせの計算式\(<>_n \mathrm_r (n \geq r)\)は以下になります．
3行目の行末に5と3を入力したら，\(<>_5 \mathrm_3 = 10\)と正しく計算できていることがわかります．
関数の再帰呼び出しでフィボナッチ数列の計算
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2019年12月まで東京大学教員．
2020年1月から現在までアメリカのノースカロライナ州チャペルヒルにあるGuarantee Happiness LLC CTO．
2022年6月から現在までアメリカのノースカロライナ州チャペルヒルにあるJapanese Tar Heel, Inc. CEO兼CTO．
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Pythonの初歩
まず足し算です。生の Python（ python または python3 コマンド）ならプロンプト >>> の右側に，IPython（ ipython または ipython3 コマンド）ならプロンプト In [1]: の右側に 123 + 456 と打ち込んで Enter キーを打ちます。Jupyter Notebook（Google Colaboratory 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 整数の公式でフィボナッチ数列を求める を含む）なら最初の枠内に 123 + 456 と打ち込んで Shift + Enter です。次の行に答えが出ます。以下では Jupyter 整数の公式でフィボナッチ数列を求める Notebook 風に表示しています。
掛け算は * ，割り算は / ，累乗は ** です（ ^ は累乗ではなくビットごとの排他的論理和です）。計算の順序は，通常の数式と同様，累乗が一番先で，その次が掛け算・割り算，最後が足し算・引き算です。
最後の e+23 整数の公式でフィボナッチ数列を求める は「×10 23 」の意味です。実数（浮動小数点数）の表示は上に示すように微妙に誤差が出ますが，これはコンピュータが内部で10進法ではなく2進法を使っているためです。
Python 2 では，C言語などと同様に，整数の割り算は整数に切り捨てましたが，Python 3 では / は実数（浮動小数点数）の範囲で計算します。整数の除算には // を使います。除算の余りは % です。例えば 7 // 3 は 2 になり， 7 % 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 3 は 1 になります。
この x のようなものを「変数」と呼びます。変数名は，大文字と小文字を区別します。
この NameError は変数名などを間違えたときに出ます。
対話型の環境では，一つ前の出力結果が，特別な変数 _ に入ります：
上の例では _ ** 2 は 65536 ** 2 と同じです。IPython では __ が二つ前， ___ が三つ前です（四つ前はありません）。
対話型の環境なら，これまでの例で示したように，式を打ち込めばそのまま答えが表示されますが，対話型でないプログラム中では print() 関数を使わないと出力されません：
関数は print() 以外に，数値のリストの和を求める sum() ，最大値や最小値を求める max() や min() 整数の公式でフィボナッチ数列を求める などが定義されています。念のため組み込み関数のリストを挙げておきますが，覚える必要はありません。
| abs() | delattr() | hash() | memoryview()整数の公式でフィボナッチ数列を求める | set() |
| all() | dict() | help() | min() | setattr() |
| any() | dir() | hex() | next() | slice() |
| ascii() | divmod() | id() | object() | sorted() |
| bin() | enumerate() | input() | oct() | staticmethod() |
| bool() | eval() | int() | open() | str() |
| breakpoint() | exec() | isinstance() | ord() | sum() |
| bytearray() | filter() | issubclass() | pow() | super() |
| bytes() | float() | iter() | print() | tuple() |
| callable() | format() | len() | property() | type() |
| chr() | frozenset() | list() | range() | vars() |
| classmethod() | 整数の公式でフィボナッチ数列を求めるgetattr() | locals() | repr() | zip() |
| compile() | globals() | map() | reversed() | __import__() |
| complex() | hasattr() | max() | round() |
あらら！ 元に戻すには，自分の作った sum を削除します：
駄目ですね。数学関数はいくつかのライブラリで定義されています（標準数学ライブラリ math ，NumPy，SciPy）。ここでは後で必要になる NumPy（ナムパイ）のものを使います（まだインストールされていなければ pip などでインストールが必要です）。次のようにインポートします：
これは numpy というライブラリを np という省略名で読み込む（インポートする）ことを意味します。よく使うライブラリには伝統的な省略名があるので，それに従いましょう。
これで np. で始まる数学用のあれこれが使えるようになります：
IPython や Jupyter Notebook での浮動小数点表示の精度は，例えば %precision 4 と打ち込めば小数第4位までの表示になります。 %precision だけ打てばデフォルトに戻ります。より一般的には， print() の中で f"" のような方法で表示を制御します：
数値計算の誤差のため sin(π) は 0 にならず，1.22 × 10 -16 という小さな値になりました。
このように，続きの入力を促すプロンプト . が出ますので，入れ忘れた ) を入力してEnterを押します。あるいは，わけがわからなくなったなら Control+C 整数の公式でフィボナッチ数列を求める で止まります（Emacs中では Control+C を2回）。
ヘルプを読む
例えば print() という関数のヘルプを読むには，生の Python では help(print) としますが，IPython や Jupyter Notebook では ?print または print? と打ち込みます（うまくいかない場合は help(print) も試してください）：
これで改行をなくすには end='' または end="" とすればよいことが推測できます（Python ではシングルクォート ' とダブルクォート " はまったく同じ意味です）：
? または ?? を前置または後置することでヘルプが表示される IPython の機能は，自分の作ったオブジェクト等にも適用されます：
このほか，Tab キーによる補完， %pwd や %cd 何々 によるディレクトリ表示や移動，環境変数を表示する %env ，Python ファイルをその場で実行する %run -i ファイル名 ，実行時間を計測する %timeit 何々 ，シェルでコマンドを実行する !command など，豊富な命令が使えます。詳しくは， ? だけ打ち込むと出てくる IPython のヘルプ， %magic と打ち込むと出てくるマジックコマンドのヘルプをご覧ください。なお，デフォルトでは % を省略できてしまうので要注意です。省略できないようにするには %automagic off と打ち込みます。
終了のしかた
Python は quit() または exit() 整数の公式でフィボナッチ数列を求める で終了します。IPythonは quit または exit でも終了します。Google Colaboratory は単にブラウザの窓を閉じるだけでかまいません。
ひつじがnひき
range(1, 11) は 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 1 以上 11 未満の整数を表します。Pythonはインデント（字下げ）でブロック構造を表しますので，必ず上の2行目は（半角の）スペースかタブでインデントします。多くの Python プログラマは（半角の）スペース4個でインデントする（そうなるようにテキストエディタを設定している）と思います。
もしもプログラムを間違えて止まらなくなったら，Ctrl + C を入力します（Emacs 環境なら Ctrl 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 整数の公式でフィボナッチ数列を求める + C を2回入力します）。
これで hitsuji(100) と打てば，ひつじが100ひき数えられます。
と書けます。 print("ひつじが %2d ひき" % 整数の公式でフィボナッチ数列を求める i) のような古いC言語スタイルの書式指定もできます。
フィボナッチ数列
""". """ または '''. ''' は途中で改行が入ることを許す文字列です。説明（docstring）は途中で改行が入ることが多いので，一般に """. """ が使われます。ただ，上の例のように1行だけの場合は， ". " でもかまいません。
他の言語のように，最初に一定の長さの配列を宣言しておきたい場合は，次のように，あらかじめ（例えば） 0 を100個並べたものを作っておくことができます：
0 の代わりに，未定義であることを示す None を使うほうがいいかもしれません。ただ，この方法は遅いので，高速な数値計算には NumPy を使い，例えば 0 で初期化した長さ 100 の浮動小数点数の配列なら a = np.zeros(100) ，同じく整数の配列なら a = np.zeros(3, dtype=int) のようにして作ります。
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数列
等差数列とは？
爽茶 そうちゃ
等差数列のしくみ
14です！ 正解したアナタは「この数字の列はメチャクチャな並びでは無く、ルールがある」分かったということですね。素晴らしい！
この数字の「ルール」というのは、一番左の「2」から右に一つ進むにつれて3ずつ増えていく、というものです。
このように等しい差で増えていく数字の列を等差数列と言います。
- 一番左の(最初の)数
=「 はじめの数 」 (「1番目の数」) - 等しい増え分(差)
=「 公差 」 (「公」は「共通の」という意味)
解く前に…○を書き込む
数列を見たら、まず数の差を書き込みましょう。差が等しければ等差数列です(図1)。さらに数字の上に番号を書き込みます(図2)
爽茶 そうちゃ
等差数列の「N番目の数」を求める
爽茶 そうちゃ
考え方を理解♪
実は数列の問題は時間さえあれば初めから書いて求められます。
しかし、 その方法だと「1000番目」には対応できません (汗)。
●例題1-1(1)
初めの数 2 に公差 3 を加えているので「 5 ＝ 2 ＋ 3 」と表せますね。
●例題1-1(2)
3番目の「８」は、初めの数 2 に公差 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 3 を 2 回足しているので「 8 ＝ 2 ＋ 3 + 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 3 」と表わせます。
8=2＋3+3
●例題1-1(3)
4番目の数「11」は、公差 3 を 3 回足しているので
「 11 整数の公式でフィボナッチ数列を求める ＝ 2 ＋ 3 + 3+3 」 と表せます。
11=2＋3+3+3
そうです。 3 整数の公式でフィボナッチ数列を求める 番目の数を出すのに +3 を 3回ではなく 2回 、 4 番目の数を出すのに +3 を 4回ではなく 3回 足している のですね。
つまり、 等差数列に出てくる数は「 自分の番目 より 1つ少ない 回数分の 公差 を「 初めの数 」に足した数」になります。
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